المثلث القائم أو مثلث قائم الزاوية، هو مثلث تكون فيه إحدى الزوايا قائمة أي تساوي90 درجة، والعلاقة بين أضلاع وزوايا المثلث القائم الزاوية هي أساس حساب المثلثاتـ فالضلع المقابل للزاوية اليمنى يسمى الوتر، وتسمى الجوانب المجاورة للزاوية اليمنى الأرجل، ويمكن تحديد الضلع a على أنه الضلع المجاور للزاوية B ومعاكسًا للزاوية A (أو المقابلة لها)، بينما الضلع b هو الضلع المجاور للزاوية A والمقابل للزاوية B، وإذا كانت أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث القائم الزاوية أعدادًا صحيحة، فيقال إن المثلث هو مثلث فيثاغورس وأطوال أضلاعه تُعرف مجتمعة بثلاثية فيثاغورس.
الخصائص الرئيسية للمثلثات
كما هو الحال مع أي مثلث، فإن المساحة تساوي نصف القاعدة مضروبًا في الارتفاع المقابل، وفي المثلث القائم الزاوية، إذا تم أخذ إحدى الساقين كقاعدة، فإن الأخرى هي الارتفاع، وبالتالي فإن مساحة المثلث القائم هي نصف حاصل ضرب الساقين.
إذا تم رسم ارتفاع من الرأس بالزاوية اليمنى للوتر، فسيتم تقسيم المثلث إلى مثلثين أصغر يكون كلاهما متشابهين مع الأصل وبالتالي متشابهين مع بعضهما البعض، فالارتفاع إلى الوتر هو المتوسط الهندسي (متوسط التناسب) لقطعي الوتر، حيث كل ضلع في المثلث هو متوسط التناسب بين الوتر والجزء المجاور للساق من الوتر.
العمود الساقط من رأس المثلث القائم
يتزامن الارتفاع من أي من الساقين مع الساق الأخرى؛ نظرًا لأن هذه تتقاطع في الرأس القائم الزاوية، فإن المركز العمودي للمثلث القائم يتقاطع ارتفاعاته الثلاثة ويتطابق مع الرأس القائم الزاوية، فرأس المثلث القائم الزاوية هو نقطة التقاء ضلعي المثلث.
نظرية فيثاغورس
تنص نظرية فيثاغورس على ما يلي، أنه في أي مثلث قائم الزاوية، فإن مساحة المربع الذي يكون ضلعه هو الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة) يساوي مجموع مساحات المربعات التي يكون ضلعاها قدمين (الضلعان اللذان يلتقيان بزاوية قائمة) ).
في المثلث القائم، الضلع المقابل للزاوية 90 درجة هو أطول ضلع في المثلث، ويسمى الوتر، كما ويشار إلى أضلاع المثلث القائم عادةً بالمتغيرات a و b و c، حيث c هو الوتر و a و b هما أطوال الأضلاع الأقصر.
